Ma trận nghịch đảo cấp 2

Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương thơm pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt và PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp n được Call là ma trận đơn vị trường hợp A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cấp cho n

Ta nhận biết ma trận trên là trường tồn. Thật vậy, ma trận thỏa ĐK bên trên có dạng sau:


*
" data-medium-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" data-large-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=173" class="size-full wp-image-1098" title="mtnd1" src="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=750" alt="Ma tr�n đơn vị chức năng cấp n" srcset="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg 173w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd1.jpg?w=150 150w" sizes="(max-width: 173px) 100vw, 173px" />Ma trận đơn vị chức năng cung cấp n


Ngoài ra, ma trận đơn vị chức năng là tuyệt nhất. Thật vậy, giả sử tất cả hai ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị đề xuất I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị chức năng bắt buộc I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong ma trận vuông cấp cho n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu như lâu dài một ma trận B vuông cung cấp n bên trên K sao cho: A.B = B.A = In. Lúc đó, B được Gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.

You watching: Ma trận nghịch đảo cấp 2

Nhỏng vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là tuyệt nhất, bởi trả sử mãi sau ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, tức là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay, có không ít giáo trình nước ngoài đã đề cùa đến tư tưởng khả nghịch của ma trận ngẫu nhiên.

Thật vậy, mang lại A là ma trận cấp cho m x n trên ngôi trường số K. lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ lâu dài ma trận L cấp cho n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải trường hợp vĩnh cửu ma trận R cung cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và lúc ấy, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái cùng khả nghịch đề nghị.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không ko khả nghịch.

5. Tập đúng theo những ma trận vuông cấp n bên trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cung cấp 2 sau đây:

*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch cùng A là nghịch hòn đảo của B; B là nghịch đảo của A

Ma trận C ko khả nghịch do với mọi ma trận vuông cấp 2 ta hầu hết có:

*
Nhận xét: Ma trận tất cả tối thiểu 1 dòng không (hoặc cột không) hầu hết ko khả nghịch.

See more: + Bí Kíp Cách Tán Gái Trên Facebook Hiệu Quả, Cách Tán Gái Trên Facebook Nhanh Sập Bẫy

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch với (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch với (AT)-1= (A-1)T

(Quý Khách hãy thừ chứng minh tác dụng trên nhé)

3. Mối quan hệ tình dục thân ma trận khả nghịch cùng ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được Gọi là ma trận sơ cung cấp dòng (cột) ví như E chiếm được trường đoản cú ma trận đơn vị In bời đúng 1 phnghiền biến đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp mẫu tuyệt cột Điện thoại tư vấn phổ biến là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cung cấp mẫu (tuyệt cột) các khả nghịch với nghịch hòn đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cung cấp loại.

Ta hoàn toàn có thể kiểm soát thẳng công dụng bên trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 loại của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*
" data-medium-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300" data-large-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=542" class="size-full wp-image-1109" title="mtnd4" src="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 1" srcset="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg 542w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=150 150w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd4.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 542px) 100vw, 542px" />Ma trận sơ cấp dạng 1


*
" data-medium-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300" data-large-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=524" class="size-full wp-image-1110" title="mtnd5" src="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 2" srcset="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg 524w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=150 150w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd5.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 524px) 100vw, 524px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 2


*
" data-medium-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300" data-large-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=326" class="size-full wp-image-1112" title="mtnd6" src="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=750" alt="Ma tr�n sơ cung cấp dạng 3" srcset="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg 326w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=150 150w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd6.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 326px) 100vw, 326px" />Ma trận sơ cấp cho dạng 3


3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n trên K (n ≥ 2). Lúc kia, các xác định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận ra từ A do một số hữu hạn các phép biến hóa sơ cấp cho loại (cột)

3. A là tích của một trong những hữu hạn các ma trận sơ cấp

(quý khách đọc hoàn toàn có thể xem chứng minh định lý này trong ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Khi đó, các khẳng định sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch lúc và chỉ khi dạng bao gồm tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận từ bỏ A vì một vài hữu hạn các phép biến hóa sơ cấp cho dòng (cột); đồng thời, thiết yếu dãy những phxay thay đổi sơ cung cấp dòng (cột) này sẽ trở thành In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán thù Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch đảo bởi phnghiền chuyển đổi sơ cấp:

Ta áp dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm kiếm nghịch hòn đảo (giả dụ có)của ma trận A vuông cung cấp n trên K. Thuật tân oán này được sản xuất dựa vào công dụng thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta thực hiện công việc sau đây

Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghxay thêm ma trận đơn vị cấp cho n I vào mặt buộc phải ma trận A


*
" data-medium-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300" data-large-file="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=333" class="size-full wp-image-1115" title="mtnd7" src="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=750" alt="L�p ma tr�n đưa ra khối cấp cho n x 2n" srcset="https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg 333w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=150 150w, https://ecole.vn.files.ecole.vn.com/2008/10/mtnd7.jpg?w=300 300w" sizes="(max-width: 333px) 100vw, 333px" />Lập ma trận đưa ra kăn năn cung cấp n x 2n


Bước 2: Dùng các phnghiền chuyển đổi sơ cung cấp dòng để mang < A|I > về dạng < A’ | B >, trong số đó A’ là 1 trong những ma trận bậc thang bao gồm tắc.

See more: Cách Sử Dụng Tủ Lạnh Tiết Kiệm Điện, 15 Cách Giúp Tủ Lạnh Nhà Bạn Luôn Tiết Kiệm Điện

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch với A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình đổi khác giả dụ A’ lộ diện ít nhất 1 loại không thì chớp nhoáng Kết luận A không khả nghịch (không nhất thiết phải gửi A’ về dạng chủ yếu tắc) và chấm dứt thuật toán.

lấy một ví dụ minc họa: Sử dụng thuật toán thù Gausβ – Jordan để tra cứu ma trận nghịch đảo của: