Chuyên đề tứ giác nội tiếp có lời giải

Lại bao gồm góc ADB = góc DSM + DMS = MCS

Phát triển bài toán: Bài này hoàn toàn có thể hỏi thêm nlỗi chứng tỏ SH // AB

Bài số 2:

Cho tđọng giác ABCD nội tiếp nửa con đường tròn 2 lần bán kính AD. Hai đường chéo AC cùng BD giảm nhau tại E. Vẽ EF vuông góc cùng với AD. Chứng minh:

a) Tứ đọng giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .

b) CA là phân giác của góc BCF

c) điện thoại tư vấn M là trung điểm của DE. Chứng minh tứ đọng giác BCMF nội tiếp

Hướng dẫn giải:

a) Dễ rồi nhé

b) Ta tất cả hai góc C3 với D3 đều bằng nhau, nhì góc ECF = D3 => đpcm

c) Ta theo lần lượt chứng tỏ góc C1 = D1 = A1 = F1 ; D3 = F3 ; F2 = ECM, C3 = F3

=> BFM + BCM = F2 + F3+ BFM = 180 độ

Phát triển bài toán: Ta thấy E là giao điểm 3 phân giác của tam giác BCF. Vì vậy rất có thể hỏi thêm chứng minh E phương pháp phần đông 3 cạnh của tam giác BCF tuyệt E là chổ chính giữa mặt đường tròn nội tiếp tam giác BCF

Bài số 3: 

Tứ đọng giác ABCD nội tiếp con đường tròn đường kính AD . Hai mặt đường chéo AC , BD cắt nhau trên E . Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F . Đường thẳng CF cắt con đường tròn tại điểm lắp thêm nhị là M . Giao điểm của BD và CF là N . Chứng minch :

a) CEFD là tứ đọng giác nội tiếp .

b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .

c) BE . Doanh Nghiệp = EN . BD

Hướng dẫn giải:

a) Dễ

b) Chứng minh tương tự như bài xích 2 ta bao gồm góc F2 = F3

Ta minh chứng tiếp F4 + F3 = F2 + F1. Vậy F4 = F1 = F5 => FA là tia phân giác của góc BFM .

c) FA là tia phân giác của góc BFM phải FD là phân giác của góc CFI

FE là phân giác của tam giác BFN đề nghị BF/FN = BE/EN

FD là phân giác của góc ko kể của tam giác BFN nên BF/FN = BD/ND

Vậy BE/EN = BD/ND => BE . DN = EN . BD

Bài số 4: 

Cho tam giác ABC vuông sinh sống A cùng một điểm D nằm giữa A với B . Đường tròn 2 lần bán kính BD cắt BC tại E . Các con đường thẳng CD , AE lần lượt giảm đường tròn trên các điểm sản phẩm nhì F , G . Chứng minc :

a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .

b) Tứ giác ADEC với AFBC nội tiếp được trong một con đường tròn .

c) AC tuy vậy tuy vậy cùng với FG .

d) Các mặt đường trực tiếp AC , DE và BF đồng quy .

Bài số 5

a) dễ

b) CM là phân giác của ∠BCS∠BCSTứ đọng giác CSDM nội tiếp ⇒ góc SCM= góc ADMTứ đọng giác CDAB nội tiếp⇒góc BCM= góc ADM⇒góc BCM=góc SCM⇒CM là tia phân giác góc BCS

c) TA/TD=TC/TBXét tam giác BCTAC cùng TN là 2 con đường cao cắt nhau tại M⇒ BM vuông góc cùng với CTmà CD vuông góc với MB⇒C, D, T thẳng hàngdễ ợt cm được ΔTCA∼ΔTBD⇒ đpcm

Bài số 7

Câu 1) Dễ

Câu 2) E nằm trên phố trung trực của AC cần chứng minh được: góc AEH = CEH = BEK

Chứng minc được nhì tam giác đồng dạng: AEH với BEK => góc BKE vuông

=> AHEK nội tiếp

Câu 3) Kẻ đường kính AI => tam giác ABI vuông trên B, theo pytago ta có

Bài số 9 (Theo trải nghiệm của bạn Dark)

Cho tam giác ABC ko cân, mặt đường cao AH, nội tiếp trong mặt đường tròn trọng tâm O. call E, F vật dụng trường đoản cú là hình chiếu của B, C lên 2 lần bán kính AD của mặt đường tròn (O) cùng M, N trang bị tự là trung điểm của BC, AB. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, B, H, E cùng nằm trên đường tròn vai trung phong N cùng HE// CD.

b) M là trung ương mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác HEF

a) Bốn điểm A, B, H, E cùng ở trê tuyến phố tròn trung tâm N (dễ nhé)

HE // CD (Vì Góc FCB = góc EBC cùng bởi góc HAO)

b) ABHE nội tiếp => góc EHC = góc BAE cơ mà góc BAE = góc BCD đề xuất góc EHC = góc BCD

=> HE // CD

Mà AC vuông góc với CD cần HE vuôn góc với AC, lại có MN //AC vậy MN vuông góc cùng với HE

Ta chứng minh được EN = Hà Nội (cùng bởi nửa AB). Tam giác HNE cân tại N, NM là con đường cao đề xuất cũng chính là đường trung trực => ME = MH (1)

Ta cũng chứng minh được HF // BD (vì chưng AHFC nội tiếp => góc CHF =góc FAC = góc CBD)

gọi I là trung điểm của AC. Chứng minh tương tự ta có IM //AB bắt buộc vuôn góc với BD với HF,

Tam giác HIF cân nặng trên I. IM là mặt đường trung trực của HF => MH = MF (2)

(1),(2) => đpcm

Bài số 11 (Theo trải đời của bạn Thảo Chi)

a) SAOB, SAEO nội tiếp => 5 điểm S, A, E, O, B cùng ở trong một con đường tròn

b) Nếu SA = AO thì tam giác SAO, SBO vuông cân nặng trên A cùng B => SAOB là hình vuông.

c) Chứng minch hai tam giác SAC và SDA đồng dạng => AC/DA = SA/SD (1)

Chứng minch hai tam giác SBC với SDB đồng dạng => BD/BC = SD/SB (2)

Nhân vế với vế (1) và (2) ta có (AC.BD)(DA.BC) = 1 => AC.BD = BC.DA (*)

Chứng minh hai tam giác đồng dạng ACE với ABD (góc ACE = Góc ABD, góc AEC = góc ADB cùng bằng góc ABS) => AC/AB = CE/BD => AC.BD = AB.CE (3)

Chứng minc nhì tam giác Ngân Hàng Á Châu cùng AED đồng dạng (g-g) => CB/ED = AB/AD

=>CB.AD = AB.ED (4)

Từ (3),(4) => AC.BD + CB.AD = AB(CE + ED) = AB.CD (**)

Từ (*) với (**) => AC.BD = BC.DA = AB.CD/2

các bài luyện tập 12 (Quý khách hàng trangks2004 hỏi)

Cho nửa con đường tròn (O; R) 2 lần bán kính AB. Kẻ tiếp tuyến đường Bx và lấy nhì điểm C cùng D trực thuộc nửa con đường tròn. Các tia AC với AD giảm Bx lần lượt sinh hoạt E, F (F chính giữa B và E).

a) Chứng minh AC. AE không thay đổi.

b) Chứng minh góc ABD = góc DFB

c) Chứng minh rằng CEFD là tđọng giác nội tiếp.

a) Tam giác ABE vuông tại B, con đường cao BC => AC.AE = AB2 không thay đổi.

b) góc ABD = góc DFB (1) vì thuộc phú với góc DBF

c) ACDB nội tiếp => góc ABD = góc DCE (2)

từ (1) cùng (2) => góc DFB = góc DCE => CEFD là tứ giác nội tiếp.

bài tập 13 (Theo ý kiến đề xuất của doanh nghiệp Quý)

Trên con đường thẳng d lấy bố điểm A,B,C theo máy từ kia. Trên nửa phương diện phẳng bờ d kẻ nhì tia Ax, By cùng vuông góc cùng với d. Trên tia Ax mang I. Tia vuông góc cùng với CI tại C cắt con đường thẳng By trên K. Đường tròn 2 lần bán kính IC cắt IK trên P.

Xem thêm: Cách Chơi Game Trên Máy Tính, Cách Tối Ưu Hóa Máy Tính Để Chơi Game Mượt Mà Hơn

a) Chứng minc tđọng giác CBPK nội tiếp được mặt đường tròn .

b) Chứng minh AI.BK = AC.CB

a) Hai góc KPC và KBC vuông => CBPK nội tiếp được đường tròn .

b) Chứng minh nhì tam giác IAC cùng CBK đồng dạng (g-g) => AC/BK = IA/BC => AC.BC = IA.BK

Bài số 14: (Theo từng trải của người sử dụng Linc Le)

Cho tam giác ABC vuông trên A. Kẻ con đường cao AH, vẽ con đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt AB trên E, giảm AC tại F.

a) Chứng minch AEHF là hình chữ nhật.

b) Chứng minh: BEFC là tứ đọng giác nội tiếp .

c) Chứng minh: AB.AE = AC.AF

d) gọi M tà tà giao điểm của CE cùng BF. Hãy so sánh diện tích S của tứ giác AEMF và ăn mặc tích của tam giác BMC.

a) b) dễ

c) Chứng minc AB.AE = AH2 = AC.AF

d) Ta vẫn đối chiếu diện tích 2 tam giác ABF cùng BEC

Hotline diện tích tam giác ABC là S. Ta có:

S(ABF)/S = AF/AC

S(BEC)/S = BE/AB

Hai tam giác BEH và BAC đồng dạng => BE/AB = EH/AC => BE.AC = AB.EH

=> BE.AC = AB.AF => AF/AC = BE/AB

Vậy S(ABF) = S(BEC) => S(AEMF) = S(BMC)

Bài số 18: (Theo đòi hỏi của người sử dụng Kuju)

Cho con đường tròn (O; R), xuất phát điểm từ một điểm A trên (O) kẻ tiếp tuyến đường d với (O). Trên con đường thẳng d lấy điểm M bất cứ ( M khác A) kẻ cat con đường MNPhường. cùng gọi K là trung điểm của NPhường., kẻ tiếp đường MB (B là tiếp điểm). Kẻ AC vg MB, BD vg MA, Hotline H là giao điểm của AC với BD, I là giao điểm của OM với AB.

a) Chứng minch tứ giác AMBO nội tiếp.

b) Chứng minch năm điểm O, K, A, M, B cùng vị trí một con đường tròn .

c) Chứng minch OM = R2; OI. IM = IA2.

d) Chứng minch OAHB là hình thoi.

e) Chứng minc bố điểm O, H, M trực tiếp sản phẩm.

f) Tìm quỹ tích của điểm H Khi M dịch rời trên phố trực tiếp d.

Hướng dẫn:

a) Hai góc OAM cùng OBM vuông => AMBO nội tiếp.

b) AMBO cùng OKMB nội tiếp=> năm điểm O, K, A, M, B thuộc nằm trong một mặt đường tròn

c) Chứng minh M, H, I, O thẳng hàng và XiaoMi MI vuông góc cùng với AB (vị OM với MH cùng vuông với AB) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAM, con đường cao AI là ra.

d) AH//OB (cùng vuông với BM), AO//BH (thuộc vuông cùng với AM), OA = OB => OAHB là hình thoi.

e) Đã làm cho nghỉ ngơi câu c

f) Lấy O’ đối xứng với O qua A. Ta minh chứng được góc OHO’ = 90 độ. OO’ cố gắng định

=> quỹ tích của điểm H Khi M di chuyển trên đường trực tiếp d là đường tròn (A; AO)

các bài luyện tập 19 (Theo tận hưởng của người sử dụng Hà Trang)

Cho 3 điểm A; B; C cố định trực tiếp sản phẩm theo máy tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ trải qua B và C (BC không là đường kính của (O)). Kẻ các tiếp tuyến đường AE và AF với (O) (E; F là các tiếp điểm). Điện thoại tư vấn I là trung điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của FI với (O) là D. Chứng minh:

a) AE2 = AB.AC

b) Tứ đọng giác AEOF nội tiếp

c) Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm tại một mặt đường tròn.

d) ED song tuy vậy cùng với AC.

e) lúc (O) biến đổi vai trung phong mặt đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK luôn thuộc một mặt đường thẳng cố định và thắt chặt.

Câu a,b,c cơ bản

d) Ta chứng minh được góc EDF = góc AEF = góc AIF => ED //AC

e) điện thoại tư vấn J là giao điểm của EF cùng AC, ta tất cả OKJI nội tiếp buộc phải con đường tròn ngoại tiếp tam giác OIK đó là con đường tròn ngoại tiếp tứ đọng giác OKJI. lúc O biến đổi thì OK,OI, KJ chỉ có IJ ko đổi vì chưng EF, AC ko thay đổi => Tâm mặt đường tròn nước ngoài tiếp tứ đọng giác OKJI luôn luôn nằm trên phố trung trực cố định và thắt chặt của IJ.